ガウス記号問題 [数A] 大学数学入試問題 | 京極一樹の数学塾

HOME > 大学入試問題のツボ2 > ガウス記号問題 [数A] 大学数学入試問題

ガウス記号問題のツボ

「x以下の最大の整数」を[x]と表すのは「ガウス記号」と呼ばれるもので、その簡単な問題は中学・高校入試でも出たことがあるかもしれません。ガウス記号に関しては、
   x-1<[x]≦x あるいは [x]≦x<[x]+1
という関係が成立し、ガウス記号問題はこれらの不等式を使って解きます。方法論がはっきりしているだけ、やさしい問題ともいえます。x-[x]を<x>や{x}と定義したものもガウス記号の亜種です。

[例題]
3つの方程式を示します。ガウス記号をあつかう際には、頭の中で、あるいは実際に、グラフを書いた方が安全です。[]=kの場合はそのまま分解し、[]=[]の場合は=kとおいて解くのが定石です。
GaussReidaiQ.gif
(2)(3)の場合は、[]なしの関係でkの上限・下限の見当をつけて、その範囲内でのkを網羅してしまうのも一策でしょう。

次は[ ]の応用問題と[ ]から定義した{ }という記号の例題です。
GaussReidai2Q.gif

もう1つの大事な事項はガウス記号と極限計算との関係についての例題です。
GaussReidai3Q.gif

[入試問題]
[C]ガウス記号と剰余類の問題(2009年早稲田/理工)
2009WasedaRikouQ.gif
[B]ガウス記号の1次方程式の問題(2014年早稲田/商)
2014WasedaShouQ.gif
[B]ガウス記号の2次方程式の問題(2011年北大/理系)
2011HokudaiQ.gif
[C]ガウス記号を使った数列の問題(2007年上智大/理工)
2007JohchiQ.gif
[B]ガウス記号を使って約数の数を数える問題(2012年東工大22)
2012年東工大22Q.gif
[D]ガウス記号を二重に使った関数の問題(2007年早稲田大/商)
2007WasedaQ.gif
[C]ガウス記号と区分求積法の問題(2000年大阪大/理系)
2000OsakadaiQ.gif

[C]2n枚のカードからm枚のカードを選ぶ確率の問題(2015年東京医科歯科大)
ガウス記号を使う問題。
2015年東京医科歯科大1Q.gif

階乗に含まれる素数の数

知らなければまったくわからない、ガウス記号の応用の分野があります。それは次のような公式です。これは「ル・ジャンドルの定理」と呼ばれます。

階乗素数.gif

この右端の式から内容が想像できると思うのですが、まず簡単な例を示します。たとえば、

  • 10!=10×9×8×7×6×5×4×3×2×1=3,628,800

という大きな数にどんな素数がいくつ含まれているかを調べるには、どんどん割り算をしていきます。

ここの数を素因数分解していけば答えが得られますが、もっと大きな、たとえば100!のような大きな数になると、その方歩では大変時間がかかります。もっと簡単な方法を考えてみましょう。それは「nをpで割り続けてその商を足し合わせる」ということです。20!に含まれる素数「2の個数」を求めるために、20!ではなく20を2で割ってまず「2の個数」10を求め、次にその商をまた2で割ると、その商5は「4の個数」を示します。この2を加えることで、20に4が5個含まれていることを数えられます。20に含まれる3つ目の2は20を8で割った商を数え、20に含まれる4つ目の2は20を16で割った商を数えることで勘案できます。これが上の公式の意味です。下図が参考になるともいます。
ルジャンドル図.gif
この公式の使い方の例を示します。

[例題]
[B]倍数の数を数える問題(2009年京大文系)
2009KyodaiQ.gif
[B]階乗の中にある2の数を計算する入試問題(2008早稲田大/教育)
2008WasedaKyoikuQ.gif
[B]末尾の0の数を数える問題
GaussReidai4Q.gif


京極一樹数学塾.gif

京極一樹の物理塾
京極一樹の化学塾
----------------------------
[入試問題解説]
●センター試験数学入試問題
センター試験数学
●医大・難関大の数学入試問題
東京大 数学入試問題過去問一覧
京都大 数学入試問題過去問一覧
大阪大 数学入試問題過去問一覧
一橋大 数学入試問題過去問一覧
東工大 数学入試問題過去問一覧
国公立医大 数学入試過去問一覧
私立医大 数学入試過去問一覧
私立大 数学入試問題一覧
国公立大 数学入試問題一覧
----------------------------
[難関大・医大合格の教材2017年版]
東大理科
日大/医
横浜市大/医
東大・京大・一橋大の文系数学
完全対策 微積分応用問題
完全対策 微積分基礎問題
完全対策 複素数平面・2次曲線問題
完全対策 数列・漸化式の極意
完全対策 整数問題の極意
完全対策 空間図形問題の極意
直接注文・簡易製本のご案内
入試問題解説書の販売条件一覧

京極一樹が貴方のための
受験大学の入試問題の学びやすい分野別解説・傾向分析書
をおつくりします!
センター試験数学対策問題集
センター試験化学対策問題集
ほんとうの数学入試試験対策
-------------------------------------
[個人指導]
京極一樹が個人指導・家庭教師お引き受けします。
受験生・高校生・大学生はこちら
受験生の遠隔指導引き受けます!
中学生・中高一貫校生はこちら
-------------------------------------

●分野別の数学入試問題
大学入試 数学入試問題の良問集大成
(数Ⅰ・数Ⅱ・数Ⅲ)

(数Ⅲ)

(数A)

(数B・数Ⅲ)

行列と一次変換(旧数C)
難関大学突破のためのトピックス

---------------------------------
東大数学入試問題を突破する方法
初めて見る問題を解く方法
どうして勉強するのか
---------------------------------
「数学以外のコンテンツ」は削除しました。
入試数学トップへ戻る
京極一樹の数学塾トップページへ戻る